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东说念主类渐忘的贫窭解法，被 GPT-5 Pro 从头找出来了！
这事儿聚焦于埃尔德什问题，这是著明数学家保罗・埃尔德什提议或转述的近千说念问题之一，收录于 erdosproblems.com 网站。该网站纪录了每说念题目确面前现象，其中约三分之一已处置，大部分仍待解。
此前该问题被标为处于"未处置"现象，属于待攻克的数学贫窭，不少东说念主还在陆续研究探讨。
直到最近，有东说念主用 GPT-5 Pro 检索后才发现，该问题执行在 2003 年就已被处置了。
尤其值得祥和的是，GPT-5 Pro 仅通过埃尔德什问题，平直定位到了症结文件。
OpenAI 研究员 Sebastien Bubeck 将此事共享出来后立马激励大都网友祥和。
By the way，陶哲轩的著明恶果之一，即是通过"遍历表面（ergodic theory）"用具，冲破了"埃尔德什各别问题"这一困扰数学界几十年的预想。
问题确定
具体来看，埃尔德什问题，表述为：
设 A ⊆ N 是一个 r 阶基（即每个豪阔大的整数都能暗意为 A 中 r 个元素的和）。那么，能暗意为 A 中正巧 r 个不同元素之和的整数相聚，是否一定具有正的下密度？
此外，埃尔德什和格雷厄姆还提议一个讨论问题：若是能暗意为 A 中 r 个元素之和的整数相聚具有正的上密度，那么能暗意为 A 中正巧 r 个不同元素之和的整数相聚，是否也一定具有正的上密度？
在 GPT-5 Pro 发现此问题已被处置前，网友们在网站上曾就此张开系列琢磨。
网友 Adenwalla 从著明的 Waring ’ s Problem（华林问题） 开头指出，险些通盘整数都不错暗意为最多 15 个四次幂之和，但仍有无限多个整数需要 16 个四次幂，即 G ( 4 ) =16 but G ₁ ( 4 ) =15。
并据此激励想考，这是否意味着加法基问题中的下密度论断可能不树立？
很快，Woett、BorisAlexeev 等指出，华林问题里的例子是"允许元素肖似"的情况，而埃尔德什问题，因此该例并不成组成反例，原问题的要求更为严格。
之后琢磨进一步深入。
zach Hunter 试图探索加法基在不同界限下的密度褂讪性，Woett 则提议了一些具体的相聚构造，尝试看成可能抵赖命题的反例。
两边围绕"互不沟通元素（distinct）""下密度（lower density）"以及"有界倍增（bounded doubling）"等倡导张开推敲。
最终，他们发现这些构造天然能制造出和集大小存在荒芜致使指数级障碍的例子，却仍无法让"能暗意为正巧 r 个不同元素之和的整数相聚"的下密度真的趋近于零，也即是说，这些反例构造并未凯旋抵赖命题。
就在网友们各执一词、对问题是否树立仍存争议之时。
msawhney 提醒大家，其实这个问题早在 2003 年就也曾被处置了。
中枢依据是 Hegyvari、Hennecart、Plagne 发表于《J. reine angew. Math.》（即《Crelle》）第 560 卷、页 199-220 的论文《A proof of two Erdos ’ conjectures on restricted addition and further results》。
其中定理 4 平直组成了该问题的解答。
而找出这一谜底的，恰是 GPT-5 Pro，它仅凭问题截图，就准确定位到了这篇文件。
对于保罗 · 埃尔德什
保罗 · 埃尔德什（Paul Erd ő s）是 20 世纪最凸起、最多产的数学家之一，以其在数论、组合数学、图论、概率论等界限的要紧孝顺而著明。
△图源：维基百科
他一世发表了近 1500 篇论文，与跳跃 500 位配合者共同研究，其等闲配合精神使数学界出现了"埃尔德什数（Erd ő s number）"的倡导，这一数字成为磋议数学家与埃尔德什学术关联细致进度的"荣誉目的"。
他 1913 年出身于匈牙利布达佩斯。4 岁时，已能默算多位数乘法；10 岁时，自学了一起中学数学课程，并开动研究数论。
1934 年，21 岁的埃尔德什从布达佩斯大学获取博士学位，随后因接触等的影响开动"飘浮"——
莫得固定职位，靠演讲费、奖金和一又友资助生涯，终年佩带一个行李箱，蜿蜒于寰球各地的大学和数学家家中，与同业配合研究、琢磨问题，平均每几周就换一个方位。
埃尔德什一世以"问题驱动"的研究方式著称。他不追求体系化表面，而是无间提议、处置理由的问题。他提议的数百个预想于今仍活跃在数学前沿。
数论是埃尔德什干与最深、恶果最丰的界限，他的责任平直鼓励了 20 世纪数论的发展，尤其在素数散播和加性数论主见影响久了。举例，他与挪威数学家 Atle Selberg，用初等阵势讲明了素数定理，恶果胆怯数学界。
埃尔德什亦然拉姆皆数研究的奠基东说念主之一，他将概率论引入组合数论，给出了拉姆皆数的下界测度。
他提议的著明"埃尔德什各别问题"，可记忆到上世纪三四十年代。
内容是，给定一个由 +1 和 -1 组成的无限序列（如 ( 1, -1, 1, -1, … ) ），界说"前 n 项的部分和"为 S ( n ) ，则"各别"是指通盘部分和的十足值的最大值。
埃尔德什预想，任何这么的序列，其各别都会跟着 n 的增大而无限增大（即不存在"有界各别"的无限 ± 1 序列）。
这一问题看似浅薄，却横跨数论、组合数学与澌灭分析，成为 20 世纪最著明的未处置预想之一。直到 2015 年，数学家陶哲轩才通过引入"遍历表面"用具，取得了该预想的部分冲破。
即使在生命的终末几年，埃尔德什仍坚合手研究数学、撰写论文。1996 年，他在波兰华沙参加学术会议时突发腹黑病升天，享年 83 岁。
2024 年，英国数学家 Thomas Bloom 开设了一个特意研究埃尔德什问题的网站。
One More Thing
加州大学欧文分校数学解说 Paata Ivanisvili 也发推文暗意，GPT-5Pro 在识别已发表论文中的严重劣势方面阐扬出色。
五年前，我花了数天时分研究这篇论文，才发现了一个作家其后说明的漏洞。而 GPT-5 Pro 仅用 18 分钟就找到了通常的漏洞，还至极发现了几个小问题。类似的情况我也曾目睹过好屡次了。
该推文还被 OpenAI 总裁 Greg Brockman 转发了。
网友暗意这是一个雄壮的欺诈场景：
使用 GPT-5 Pro 来考据科学文件，好像极地面加速研究东说念主员核实学术论断和发现逻辑矛盾的历程。
还有网友安利教导词小手段：
在教导词中加入"请深度阅读——不要跳读，不要扫描——每次处理 1000 行"（please deep read - no grep, no scan - 1,000 lines at a time），号称研读科学论文的终极手段。
另一个建议是进行轮回性核查（do a circularity audit）。
埃尔德什问题官网：https://www.erdosproblems.com/faq
参考联结：
[ 1 ] https://x.com/SebastienBubeck/status/1977181716457701775
[ 2 ] https://x.com/gdb/status/1977153596811804890
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— 完 —
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